Fundamentos de Resistencia de Materiales

1. Conceptos Básicos y Coeficientes

En el estudio de la Resistencia de Materiales, es crucial comprender los siguientes conceptos:

• Coeficiente de Seguridad: Relaciona la situación de servicio con la situación de rotura. Se aplica como producto de coeficientes tanto a las acciones como al material.
• Sólido Rígido: Aquel que, sometido a fuerzas exteriores, no modifica la posición relativa de sus partículas.
• Sólido Deformable: Sistema de puntos continuos y materiales que modifica su forma ante alguna acción.

Propiedades Fundamentales de los Materiales

Los materiales se caracterizan por:

• Continuidad: Ausencia de vacíos o interrupciones en su estructura.
• Homogeneidad: Propiedades idénticas en todos sus puntos.
• Isotropía: Propiedades idénticas en todas las direcciones.

2. Unidades de Medida en Mecánica de Sólidos

Conversiones de Unidades Comunes

• 1 kp = 10 N
• 1 N = 1 kg·m/s²
• 1 Pa = 1 N/m²
• 1 kp/cm² = 0.1 N/mm²
• 1 MPa = 10⁶ Pa = 10⁶ N/m² = 1 N/mm²

3. Tipos de Apoyos y Sistemas Estructurales

Clasificación de Sistemas Estructurales

• Sistema Isostático: El número de ecuaciones de equilibrio es igual al número de incógnitas.
• Sistema Hiperestático: El número de ecuaciones de equilibrio es menor que el número de incógnitas.
• Sistema Hipostático: El número de ecuaciones de equilibrio es mayor que el número de incógnitas.

4. Concepto de Tensión

Tensión: Se mide en N/m² (Pascal). Se distingue entre:

• Tensión Normal (σ): Actúa perpendicularmente a la superficie.
• Tensión Tangencial (τ): Actúa paralelamente a la superficie.

(Referencia: Páginas 21-22)

5. Leyes y Diagramas de Esfuerzos

A) Carga Uniforme (q = constante)

Las relaciones fundamentales para una carga uniforme son:

• La derivada de la ley de esfuerzos cortantes es igual a la ley de cargas cambiada de signo.
• La razón de cambio del esfuerzo cortante es igual a la carga (con signo negativo).
• La pendiente de la ley de esfuerzos cortantes es igual a la carga cambiada de signo.
• Si el elemento no soporta carga (q=0), el esfuerzo cortante es constante.
• Si la ley de cargas es constante, la ley de esfuerzos cortantes varía con una ecuación de primer grado.
• Si la ley de cargas varía linealmente, la ley de esfuerzos cortantes lo hace con una ecuación de segundo grado.

En cuanto al momento flector:

• La razón de variación del momento flector con respecto a x es igual al esfuerzo cortante.
• La ley de esfuerzos cortantes es igual a la derivada respecto a x de la ley de momentos flectores.
• La pendiente de la ley de momentos flectores coincide con el esfuerzo cortante.
• En un tramo descargado (q=0), el esfuerzo cortante es constante y el momento flector varía linealmente.
• Si el esfuerzo cortante es nulo, el momento flector será constante.
• Si la carga es uniforme (q=cte), la ley de esfuerzos cortantes (EECC) varía linealmente y la ley de momentos flectores (MMFF) lo hace con una ecuación de segundo grado.
• Si la carga varía linealmente (q=q(x)), la ley de esfuerzos cortantes (EECC) varía con una ecuación de segundo grado y la ley de momentos flectores (MMFF) con una ecuación de tercer grado.

B) Carga Puntual (P)

Cuando un elemento soporta una carga puntual P:

• Al pasar de una sección a otra, la ley de esfuerzos cortantes (EECC) presenta un salto brusco de valor igual a la carga puntual P.
• Si la longitud del elemento es infinitesimal (dx), la variación del momento también lo es, por lo que se puede concluir que el momento flector no varía en el punto de aplicación de la carga puntual.
• A pesar de que el momento flector no presenta un salto brusco, en la ley de momentos flectores (MMFF) se produce un cambio brusco en la pendiente.

C) Momento Exterior

En presencia de un momento exterior:

• El esfuerzo cortante no varía en el punto de aplicación de un momento exterior.
• En el punto de aplicación del momento exterior, el momento flector presenta un salto brusco de valor igual al momento aplicado.

Relaciones Clave para los Diagramas de Esfuerzos

• En las secciones donde V=0, M(x) presentará un máximo o mínimo relativo.
• En las zonas donde V=0, M(x) es constante.
• En las secciones donde q=0, V(x) presentará un máximo o mínimo relativo.
• El esfuerzo cortante (EECC) en cada sección es la pendiente del diagrama de momentos flectores (MMFF) en dicha sección.
• La densidad de carga, con signo cambiado, en cada sección es la pendiente del diagrama de esfuerzos cortantes (EECC) en dicha sección.
• En las secciones con una fuerza puntual, el diagrama de esfuerzos cortantes (EECC) presenta una variación brusca en su valor de igual magnitud que dicha fuerza.
• En las secciones con un momento aplicado, el diagrama de momentos flectores (MMFF) presenta una variación brusca en su valor de igual magnitud que dicho momento.
• Si el momento flector (MMFF) es una función de grado “n”, el esfuerzo cortante (EECC) lo será de grado n-1 y la carga q de grado n-2.

6. Propiedades Mecánicas de los Materiales y Principios Fundamentales

Contracción Lateral y Coeficiente de Poisson

Cuando una barra se somete a tracción, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (estricción) perpendicular a la dirección de la carga. La deformación lateral es proporcional a la deformación axial.

El Coeficiente de Poisson (ν) es el cociente entre la deformación lateral y la deformación axial.

Ley de Hooke

La Ley de Hooke establece que el comportamiento del material es elástico y lineal. Esto significa que las deformaciones producidas al aplicar la carga desaparecen al cesar esta (comportamiento elástico) y, además, existe proporcionalidad lineal entre tensiones y deformaciones.

Principios Fundamentales de la Resistencia de Materiales

La Resistencia de Materiales se basa en los siguientes principios:

• Principio de Rigidez: Considera que las deformaciones son pequeñas y no alteran significativamente la geometría de la estructura.
• Principio de Superposición: Los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas origina en un cuerpo son iguales a la suma de los efectos que originan esas mismas fuerzas actuando por separado.
• Principio de Saint-Venant: «En una pieza prismática, las tensiones que actúan sobre la sección recta, alejada de los puntos de aplicación de un sistema de cargas, solo dependen de la fuerza y del momento resultante de las fuerzas situadas en la sección considerada.» La distribución de tensiones en una sección recta no depende más que de la resultante (R) y el momento (M), suponiendo que no hay fuerzas aplicadas en las proximidades de la sección (si hay alguna, su influencia es débil).

Hipótesis de Linealidad

• Hipótesis de Linealidad Estática: Las ecuaciones de equilibrio se plantean en la geometría de la estructura antes de deformarse, sin considerar los movimientos provocados por el sistema de cargas.
• Hipótesis de Linealidad Cinemática: Las deformaciones son pequeñas.
• Linealidad Material: El comportamiento elástico de un material cumple la Ley de Hooke.

Si se considera válida la hipótesis de pequeños desplazamientos y se cumple la Ley de Hooke, el problema es lineal.

Hipótesis de Navier-Bernoulli

La Hipótesis de Navier-Bernoulli es válida cuando actúan tensiones normales, es decir, cuando la pieza está solicitada por esfuerzos axiles o un momento flector. Con esta hipótesis se desprecia el alabeo (tanto por esfuerzo axil como por momento flector).

Condiciones para Aceptar las Hipótesis

Para que las hipótesis sean válidas, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Las dimensiones transversales de la viga deben ser pequeñas respecto a su longitud. Sin embargo, no deben ser tan pequeñas como para que la viga sea muy deformable, en cuyo caso puede ser apreciable la variación de la línea de las fuerzas.
• El radio de curvatura en todo punto de la fibra media deberá ser grande respecto al canto de la viga (lo que implica deformaciones angulares muy pequeñas).
• La variación de la sección a lo largo de la fibra media deberá ser lenta y progresiva.

7. Tracción Simple y Esfuerzo Axil

Aceptando la hipótesis de Navier-Bernoulli y un comportamiento elástico y lineal que cumple la Ley de Hooke, la tensión en tracción simple es constante.

8. Diagrama Tensión-Deformación

El diagrama tensión-deformación describe el comportamiento mecánico de un material bajo carga. Sus tramos principales son:

• Tramo OP (Proporcionalidad): Existe una proporcionalidad directa entre las tensiones y las deformaciones, cumpliendo la Ley de Hooke. σ_p es el límite de proporcionalidad.
• Tramo PE (Elástico no lineal): El material sigue siendo elástico, pero la relación tensión-deformación ya no es lineal. σ_E es el límite elástico, la máxima tensión que se puede alcanzar sin que se produzcan deformaciones permanentes.
• Tramo OE: Comportamiento elástico.
• Tramo EF (Fluencia): Aumentan las deformaciones más que las tensiones, hasta σ_F, el límite de fluencia, tensión a partir de la cual el material se deforma casi sin aumento de la tensión.
• Tramo FF’ (Plástico): Se producen grandes deformaciones sin incremento sensible de tensión. Este periodo de fluencia es continuo.
• Tramo F’R (Fortalecimiento): El material vuelve a adquirir resistencia. Es el periodo de endurecimiento por deformación, con pérdida de uniformidad de las deformaciones. Al final de este periodo se alcanza σ_R, la tensión de rotura.

Tipos de Deformaciones

A partir del límite de elasticidad (σ_E), las deformaciones experimentadas son:

• Deformaciones Elásticas: Desaparecen cuando deja de actuar la carga que las origina.
• Deformaciones Permanentes (Plásticas): Permanecen cuando deja de actuar la carga que las origina.

Ductilidad y Fragilidad

La Ductilidad es la capacidad de un material de deformarse plásticamente antes de romperse. Los materiales dúctiles presentan un marcado comportamiento plástico y alcanzan la rotura con un nivel elevado de deformación.

Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura con poca o ninguna deformación plástica. Un aumento en la resistencia de un material trae consigo una disminución de la ductilidad.

Módulo de Resiliencia

El Módulo de Resiliencia (U_r) da la capacidad de absorber energía en la zona elástica y proporcional del material. Si el material es elástico y estamos dentro de la zona proporcional entre tensiones y deformaciones, se cumplirá la Ley de Hooke, el diagrama tensión-deformación será una recta, y la energía de deformación será el área encerrada por la función carga-deformación (área del triángulo).