1. Definiciones

En topografía, cualquier trabajo comienza con la adquisición en campo de medidas de magnitudes llamadas observables. La metrología es, por tanto, algo intrínseco a la topografía.

Metrología: Ciencia que tiene por objeto el estudio de las unidades y de las medidas de las magnitudes, así como la definición de la técnica e instrumentos de medida.

Magnitud: Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente (mensurable).

Mensurando y observable: Mensurando es cualquier magnitud objeto de medición. Si son susceptibles de medición directa, se les denomina observables.

Valor: Dimensión de un mensurando expresada como una unidad de medida multiplicada por un número.

Unidad: Patrón de comparación para cada magnitud.

Medición y observación: Acto irrepetible que tiene por objeto determinar el valor de un mensurando por comparación con el patrón. Cuando esta es directa, se le puede llamar observación.

Medida y observación: Valor atribuido a un mensurando determinado tras la medición. Cuando es directa, se llama observación.

Error: Diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de una magnitud particular.

Valor convencionalmente verdadero: Ante la imposibilidad de obtener una medida exenta de error, se suele adoptar como verdadero el valor convencionalmente verdadero.

Residuo de medida: No siendo posible conocer el valor verdadero ni, por tanto, el error de medida, se recurre al término residuo de medida para referirse a la diferencia entre el valor medido y el valor convencionalmente verdadero.

Tolerancia: Error máximo admitido para cada magnitud.

1. Introducción

Se entiende por medición el conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de un mensurando por comparación con el patrón de medida. Esto se realiza bajo circunstancias cambiantes, lo que conlleva que múltiples medidas arrojen resultados diferentes, es decir, discrepancias. Cuando la componente aleatoria es pequeña, estas discrepancias son mínimas, dando lugar a medidas precisas, que no necesariamente exactas.

Estos principios rigen cualquier medición, incluidas las de la topografía, donde se miden magnitudes cuyas medidas pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo (variables aleatorias continuas). Estas medidas se ajustan a modelos de distribución normal.

La infinidad de valores para las variables aleatorias continuas provoca que no se pueda determinar la probabilidad de un valor concreto. En cambio, sí es posible calcular, mediante la integración de la función de distribución de frecuencias, la probabilidad correspondiente a un intervalo de valores y la de que el valor de la variable no supere un valor concreto.

Función de Densidad de Probabilidad

Siendo “x” una variable aleatoria continua que toma valores dentro de un intervalo [a,b], se consideran intervalos de menor amplitud para determinar el polígono de frecuencias relativas de la variable (densidades de frecuencias). Contemplando intervalos cada vez menores, el polígono de frecuencias se irá asemejando a la curva correspondiente a la función de distribución de frecuencias (función de densidad de probabilidad). La probabilidad de que la variable “x” tome valores entre x₀ y x₀+h viene dada por:

donde f(x) es la función de densidad de probabilidad.

Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua “x” es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas. Debe ser creciente y tomar valores entre 0 y 1. Siendo “x” una variable aleatoria continua que toma valores entre [a,b], la probabilidad acumulada (F(x)) de que la variable “x” tome valores entre a y x_i será:

Por tanto, la función de distribución acumulada (F(x)) es una primitiva de la función de densidad de probabilidad (f(x)) o, lo que es lo mismo, la función de densidad de probabilidad es una derivada de la función de distribución acumulada. Su utilidad es la de servir para determinar la probabilidad de que “x” sea menor o igual que un valor concreto. Por tanto, la medición topográfica de cualquier mensurando, consistente en una serie de medidas, se puede ajustar a una función de densidad de probabilidad propia de la distribución normal:

donde µ es la media aritmética de la variable x, σ la desviación típica, σ² la varianza, y x la variable independiente. El análisis de probabilidades correspondiente a intervalos de valores de la magnitud se puede realizar a partir del estudio de la distribución normal. No obstante, será aproximado, ya que la integración de la función dará lugar a una serie infinita. La referida función de densidad de probabilidad presenta las siguientes características descriptivas:

1. Dominio: Dom f ∈ ℝ (símbolo de todo número real)
2. Máximo:
3. Puntos de inflexión: x = µ – σ y x = µ + σ
4. Asíntota horizontal: eje OX
5. Simetría: respecto de la recta x = µ
6. Intervalos de monotonía: creciente (-∞, µ) y decreciente (µ, +∞)
7. Signos: siempre positivos.
8. Punto de corte:

La distribución normal queda determinada por dos parámetros: la media (µ) y su desviación típica (σ), denotada como N(µ, σ). Cada par de valores permitirá obtener una función de densidad distinta, por lo que la expresión anterior representa una familia de distribuciones normales. La distribución normal estándar servirá para resolver el problema de la integración de cada función de distribución normal (serie infinita), así como para analizar la influencia de las causas accidentales de error en la medida. La distribución normal estándar consiste en realizar un cambio de variable tal que si x es la variable aleatoria continua de media µ y desviación típica σ, la variable tipificada (z) sería: z = (x – µ) / σ. Su media aritmética sería siempre 0 y su desviación típica siempre 1. La expresión matemática de su función de densidad de probabilidad es:

(Nota: Aquí se insertaría el mismo dibujo que antes, pero con valores -1, 0, 1 en el eje horizontal.) De forma análoga, la función de distribución acumulada es:

2. Precisión

La precisión de una serie de medidas representa el grado de proximidad entre medidas repetidas de un mismo mensurando; depende de la calidad de los instrumentos y de las capacidades del operario. La probabilidad de que una variable se encuentre entre dos valores determinados está íntimamente asociada a la precisión de la serie de medidas. Los parámetros de dispersión de la distribución de densidad de probabilidad de un mensurando y la desviación estándar (σ), así como los de la componente aleatoria del error cometido en su medida, son indicadores de la precisión de la medida. Por tanto, a menor dispersión, mayor precisión y viceversa. Para evaluar la probabilidad (P) de que el valor del mensurando (x) esté en el intervalo: (µ – σ, µ + σ)

Al resultar una serie infinita, se recurre a la estandarización:

Consultando las tablas de áreas bajo la curva de la distribución normal estándar o tipificada se deducirá: P(µ – σ < x < µ + σ) = 0.6826.

De igual forma, se pueden utilizar múltiplos de la desviación estándar como medidas de precisión. Así, para una precisión kσ, la probabilidad será:

P(-kσ < x < kσ) = φ(k) + φ(k) – 1 = 2φ(k) – 1.

Donde φ(k) es el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar para cada valor de la variable. Recurriendo a la tabla de áreas bajo la curva de la distribución normal estándar, se obtendrá una en la que se advierte que, conforme el error aleatorio aumenta, también lo hace la probabilidad.

Al valor para el que la probabilidad asociada es el 50% se le denomina error probable (e_p) y corresponde con aquel que ocupa el valor central (existen tantos errores mayores que él como menores). Considerando uno de los valores, por ejemplo 1.645σ, cuyo nivel de confianza es del 90%, la interpretación que se deberá hacer es que esa es la probabilidad de que el valor esté en el intervalo (µ – 1.645σ ≤ x ≤ µ + 1.645σ).