1. La recta
L pasa por los puntos P=(1,3) y Q=(4,5). Hallar:
 * a) La ecuación punto–
pendiente de la recta
   La pendiente (m) es:
   m = (5 – 3) / (4 – 1) = 2/3
   La ecuación punto-pendiente usando el punto P(1,3) es:
   y – 3 = (2/3)(x – 1)
 * b) La ecuación general de la recta
   Partiendo de la ecuación anterior:
   y – 3 = (2/3)(x – 1)
   3(y – 3) = 2(x – 1)
   3y – 9 = 2x – 2
   2x – 3y + 7 = 0
 * c) La ecuación vectorial de la recta
   Un vector director (\vec{v}) es:
   \vec{v} = Q – P = (4 – 1, 5 – 3) = (3, 2)
   Usando el punto P(1,3), la ecuación vectorial es:
   \vec{r}(t) = (1, 3) + t(3, 2)
 * d) Las ecuaciones paramétricas de la recta
   A partir de la ecuación vectorial:
   x = 1 + 3t
   y = 3 + 2t
 * e) Las ecuaciones simétricas de la recta
   Despejando t de las ecuaciones paramétricas:
   t = (x – 1)/3
   t = (y – 3)/2
   Igualando las expresiones para t:
   (x – 1)/3 = (y – 3)/2
2. Los vértices de un triángulo ABC son: A=(2,3), B=(6,10) y C=(9,6). Hallar las coordenadas del ortocentro.
   El ortocentro es la intersección de las alturas del triángulo.
   La pendiente de AB es m_{AB} = 7/4. La pendiente de la altura desde C es m_{hC} = -4/7.
   La pendiente de BC es m_{BC} = -4/3. La pendiente de la altura desde A es m_{hA} = 3/4.
   La ecuación de la altura desde C es: y – 6 = (-4/7)(x – 9) \implies 4x + 7y = 78.
   La ecuación de la altura desde A es: y – 3 = (3/4)(x – 2) \implies 3x – 4y = -6.
   Resolviendo el sistema:
   4x + 7y = 78
   3x – 4y = -6
   Se obtiene x = 270/37 y y = 258/37.
  

Ecuación general de la circunferencia

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0

• D,E,FD, E, FD,E,F son constantes reales.

• Los coeficientes de x2x^2×2 y y2y^2y2 son iguales y no hay término xyxyxy.

Ecuación ordinaria (o canónica)

(x−h)2+(y−k)2=r2(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2

• (h,k)(h, k)(h,k) → centro

• rrr → radio
  

  
  Relación entre general y ordinario
  

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0

se puede identificar:

h=−D2,k=−E2h = -\frac{D}{2}, \quad k = -\frac{E}{2}h=−2D​,k=−2E​ r=h2+k2−Fr = \sqrt{h^2 + k^2 – F}r=h2+k2−F​

o equivalente:

r=(D2)2+(E2)2−Fr = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 – F}r=(2D​)2+(2E​)2−F​

Ecuación general:

x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0x2+y2−4x+6y−3=0

Centro:

h=−−42=2,k=−62=−3h = -\frac{-4}{2} = 2, \quad k = -\frac{6}{2} = -3h=−2−4​=2,k=−26​=−3

Radio:

r=(2)2+(−3)2−(−3)=4+9+3=16=4r = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 – (-3)} = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4r=(2)2+(−3)2−(−3)​=4+9+3​=16​=4

Ecuación ordinaria:

(x−2)2+(y+3)2=16(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16(x−2)2+(y+3)2=16

A) Vértice: Se agrupan los términos de ‘y’ y se completa el cuadrado

y ^ 2 – 8y = 4x – 28

(y – 4) ^ 2 = 4x – 12 (y – 4) ^ 2 = 4(x – 3) Esta es la forma estándar (y – k) ^ 2 = 4p(x – h) donde el vértice es (h, k).

Vértice V = (3, 4)

B) Foco:

De la ecuación (y – 4) ^ 2 = 4(x – 3) se tiene que 4p=4p = 1.

Como la parábola se abre hacia la derecha (el término 4p es positivo), las coordenadas del foco son (h+p, k).

Foco F = (3 + 1, 4) = (4, 4)

C) Directriz:

La directriz es una recta vertical con ecuación x = h – p.

Directriz: x=3-1 Rightarrow x = 2 .

Ecuación de la directriz: x = 2

D) Lado recto: La longitud del lado recto es |4p|. Lado recto = |4(1)| =*4*.E) Graficar:

Vértice V = (3, 4)

Foco F = (4, 4)

Directriz x = 2

Puntos extremos del lado recto: (4, 4 + 2) =(4, 6) y (4, 4 – 2) = (4, 2).

3. Hallar la ecuación general de la recta L de pendient negativa que pasa por uno de los extremos de su ladc recto y por el vértice de la parábola x ^ 2 – 4x – 6y + 22 = 0

Parábola:

x ^ 2 – 4x = 6y – 22

x ^ 2 – 4x + 4 = 6y – 22 + 4

(x – 2) ^ 2 = 6y – 18

(x – 2) ^ 2 = 6(y – 3)

Vértice: V = (2, 3)

4p=6 Rightarrow p = 3/2 . La parábola se abre hacia arriba.

Foco: F = (2, 3 + 3/2) = (2, 9/2)

Lado recto: 4p = 6 La distancia del foco a los extremos es 3.

Extremos del lado recto: (2 ± 3,9/2).

P_{1} = (2 + 3, 9/2) = (5, 9/2)

P_{2} = (2 – 3, 9/2) = (- 1, 9/2)Recta L:

La recta L pasa por el vértice V = (2, 3) y por uno de los extremos del lado recto. Debe tener pendiente negativa.

. Pendiente con P_{1} = (5, 9/2) m_{1} = (9/2 – 3) / (5 – 2) = (3/2) / 3 = 1/2 (Pendiente positiva).

Pendiente con P_{2} = (- 1, 9/2) m_{2} = (9/2 – 3) / (- 1 – 2) = (3/2) / (- 3) = – 1/2 (Pendiente negativa).

La recta L pasa por V(2,3) y tiene pendiente m = – 1/2

Ecuación: y – 3 = (- 1/2)(x – 2)

2(y – 3) = – (x – 2)

2y – 6 = – x + 2

x + 2y – 8 = 0 Ecuación general de la recta L: x + 2y – 8 = 0 .

4. Hallar la ecuación general de la circunferencia 6, q pasa por los puntos A = (3, 2) B = (3, 0) y C = (4, 1)

La ecuación general de la circunferencia es x ^ 2 + y ^ 2 + Dx + Ey + F = 0

Sustituimos las coordenadas de cada punto para formar un sistema de ecuaciones.

Punto A(3,2): 3 ^ 2 + 2 ^ 2 + D(3) + E(2) + F = 0 (Ecuación 1) 9 + 4 + 3D + 2E + F =0 Rightarrow3D+2E+F=-13

Punto B(3,0): 3 ^ 2 + 0 ^ 2 + D(3) + E(0) + F = 0 9+3D+F=0 Rightarrow 3D + F = – 9 (Ecuación 2)

Punto C(4,1): 4 ^ 2 + 1 ^ 2 + D(4) + E(1) + F = 0 (Ecuación 3) 16 + 1 + 4D + E + F =0 Rightarrow4D+E+F=-17

Resolvemos el sistema. De la Ecuación 2, F = – 9 – 3D

Sustituimos F en la Ecuación 1: 3D + 2E + (- 9 – 3D) =-13 Rightarrow2E-9=-13 Rightarrow2E

Cuntituimen Cu Con la Counción 2.Sustituimos F en la Ecuación 1: 3D + 2E + (- 9 – 3D) =-13 Rightarrow2E-9=-13 Rightarrow2E

Sustituimos F y E en la Ecuación 3: 4D + (- 2) + (- 9 – 3D) = – 17 D-11-17 D = -6.

Ahora encontramos F: F = – 9 – 3D = – 9 – 3(- 6) = – 9 + 18 = 9

Ecuación general de la circunferencia: x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 2y + 9 = 0