Funciones Trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente
Las funciones fundamentales en trigonometría son y = sin x, y = cos x, e y = tg x.
Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.
Sea un triángulo rectángulo, como el del gráfico mostrado, siendo los catetos los lados «a» y «b», y la hipotenusa el lado «c» (opuesto al ángulo recto). Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:
- El seno (sin o sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
- El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
- La tangente (tg o tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo.
La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre el coseno.
Propiedades y Observaciones Clave de las Funciones Trigonométricas
- En Cálculo, los ángulos suelen expresarse en radianes en lugar de en grados. Siga el enlace si no domina el concepto de «radián«.
- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden superar el valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, los valores de a y b pueden ser positivos o negativos:
En la figura 1, tanto «a» como «b» son positivos («a» se halla a la derecha, «b» está arriba). En la figura 2, «a» es positivo y «b» es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, «a» es negativo y «b» positivo.
- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno, estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por el contrario, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.
- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:
Lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:
- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Se recomienda seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.
La Función Seno (y = sin x)
Por y = sin x (o castellanizado y = sen x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre –
y +, teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniendo en cuenta que si x es superior a 2
(360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta —imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.
Por otra parte, se considera a x positivo cuando, partiendo de la posición de las «3 horas» (eje positivo de las abscisas) —siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj—, ha girado en sentido contrario al normal del reloj. Se considera a x negativo cuando, partiendo de esa misma posición, ha girado en sentido del reloj.
En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes, mientras que en la figura 2 se trata de un ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo, el x de las figuras de arriba podría ser un radián. En matemáticas se considera que:
En definitiva, x + 2k (siendo k un número entero) es equivalente a x en términos de sus valores trigonométricos, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2k).
Gráfica de la Función Seno
Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [, 2]. Asimismo, se anula en los puntos x=0, x=, x=2.
La Función Coseno (y = cos x)
Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre – y +, teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.
Gráfica de la Función Coseno
Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3/2, 2], y es negativa en el intervalo [/2, 3/2]. Asimismo, se anula en los puntos x=/2, x=3/2.
La Función Tangente (y = tg x)
Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre – y +, teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos donde el coseno es cero, es decir, en x = π/2 + kπ, para k un número entero.
Gráfica de la Función Tangente
Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [-/2, 0]. Se anula en los puntos x=0, x=, x=2… (al igual que el seno). En los puntos de discontinuidad (x = π/2 + kπ) tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia – por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.