Funciones de Varias Variables: Conceptos Esenciales

Definición: Proyección de una Función

Dada la función f: C → ℝ^p, donde C ⊆ ℝⁿ, f(x₁,…,x_n) = (y₁,…,y_p), llamaremos proyección de f sobre la i-ésima coordenada (i = 1,…,p) a la función real de n variables: f_i: C → ℝ, definida por f_i(x₁,…,x_n) = y_i.

Estas funciones f_i se suelen denominar componentes de la función f, de modo que f = (f₁,…,f_p).

Es decir, una función que valora en ℝ^p puede pensarse, por medio de sus proyecciones, como p funciones que valoran en ℝ. En el ejemplo anterior, estas funciones serían la de rentabilidad de la cartera y la de riesgo, respectivamente.

Definición: Dominio de una Función

Manteniendo la notación anterior, llamaremos dominio de f al conjunto de puntos de ℝⁿ que tienen imagen por f, es decir, a: Dom(f) = {x ∈ ℝⁿ; ∃ f(x)}.

Definición: Recorrido de una Función

Llamaremos recorrido de f (o imagen de f) al conjunto Im(f), es decir, el conjunto de puntos de ℝ^p que tienen antiimagen por la función f.

Definición: Curva de Nivel

Dada una función real de n variables g: C → ℝ (C ⊆ ℝⁿ) y un número real k, se denomina curva de nivel k de la función g al conjunto de puntos de C que tienen como imagen k.

Un ejemplo de lo anterior son las curvas de indiferencia, que no son sino las curvas de nivel de una función de utilidad.

Definición: Gráfica de una Función

Dada la función f: C → ℝ^p, donde C ⊆ ℝⁿ, se llama gráfica de f al conjunto: Γ_f = {z ∈ ℝ^n+p; z = (x, f(x)); ∀ x ∈ C}.

Límites de Funciones de Varias Variables

Definición: Límite de una Función

Sea f: C → ℝ^q una función definida en un conjunto C ⊂ ℝ^p y sea a ∈ ℝ^p un punto de acumulación de C. Se dice que l ∈ ℝ^q es el límite de f en el punto a, y lo denotaremos lím_x→a f(x) = l, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que ∀ x ∈ C − {a}, tal que d(x, a) < δ se verifica que d(f(x), l) < ε; es decir, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ B*(a, δ) ∩ C ⇒ f(x) ∈ B(l, ε).

Proposición: Criterio de Cauchy para Límites

Sea f: C → ℝ^p una función definida en un conjunto C ⊂ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C. Entonces, lím_x→a f(x) = l ∈ ℝ^p si y solo si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que ∀ x, x′ ∈ B*(a, δ) ∩ C, d(f(x), f(x′)) < ε.

Teorema: Regla del Sándwich (o Teorema del Emparedado)

Sean f, g, h: C → ℝ funciones reales definidas en un conjunto C ⊂ ℝⁿ, y sea a un punto de acumulación de C. Si lím_x→a f(x) = lím_x→a g(x) = l ∈ ℝ y f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en la intersección de un entorno reducido de a con C, entonces ∃ lím_x→a h(x) y lím_x→a h(x) = l.

Proposición: Límite del Producto con Función Acotada

Sean f, g: C → ℝ dos funciones reales definidas en un conjunto C ⊂ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C. Si lím_x→a f(x) = 0 y g está acotada en la intersección de un entorno de a con C, entonces lím_x→a (fg)(x) = 0.

Técnicas Avanzadas para el Cálculo de Límites

Definición: Límites Reiterados

Sea f: C → ℝ una función definida en un conjunto C ⊂ ℝ² y sea (a, b) ∈ ℝ² un punto de acumulación de C. Se llama límite reiterado de f cuando x tiende a a primero e y tiende a b después, a lím_y→b (lím_x→a f(x,y)), si este límite existe.

La expresión de este límite significa:

1. Para cada y de un entorno reducido de b, se considera la función x ↦ f(x, y).
2. Existe el límite de esta función en x = a: φ(y) = lím_x→a f(x,y).
3. Existe el límite de la función y ↦ φ(y) en y = b, y lím_y→b φ(y) = l.

Teorema del Límite Reiterado

Sea f: C → ℝ una función definida en un conjunto C ⊂ ℝ² y sea (a, b) ∈ ℝ² un punto interior de C. Si:

1. existe lím_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = l, y
2. para cada y de un entorno reducido de b, la función x ↦ f(x, y) tiene límite en a,

entonces existe lím_y→b (lím_x→a f(x,y)) y este es igual a l.

Utilidad de los Límites Reiterados

Sea f: C → ℝ^q una función definida en un conjunto C ⊂ ℝ² y sea (a,b) ∈ ℝ² un punto de acumulación de C.

• Cuando los límites reiterados existen, pero son distintos entre sí, no existe el límite de la función en el punto.
• Puede existir el límite de la función en el punto y no existir alguno (o ninguno) de los límites reiterados.
• Pueden existir los dos límites reiterados y ser iguales y, sin embargo, no existir el límite de la función en el punto.

Definición: Límites Direccionales

Sean f: C → ℝ una función definida en un conjunto C ⊂ ℝⁿ y a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C.

Si R es una recta (respectivamente, curva) que pasa por a, y a es un punto de acumulación de C ∩ R, se llama límite direccional de f en a según la recta R (respectivamente, límite de f en a según la curva R) al límite, si existe, de la función f|_R: C ∩ R → ℝ, definida por la regla x ↦ f(x).

Propiedades de los Límites Direccionales

En las condiciones de la definición anterior: si f tiene límite l en a, entonces f tiene límite l a lo largo de cualquier recta o curva R para la cual a sea punto de acumulación de C ∩ R.

Importante: El recíproco de la propiedad anterior NO es cierto.

Sea f: C → ℝ^p una función definida en un conjunto C ⊂ ℝⁿ y sea a ∈ ℝⁿ un punto de acumulación de C. Se cumple que:

• Si a lo largo de una recta (o según una curva) el límite de f en a es l, solo puede asegurarse que si f tiene límite en a, entonces ese límite ha de ser l.
• Si f tiene en a dos límites direccionales distintos, entonces no existe el límite de f en a.
• Si no existe el límite direccional de f en a a lo largo de una recta (o según una curva), entonces no existe el límite de f en a.

Proposición: Límite en Coordenadas Polares

Sea f: C → ℝ una función con valores reales y definida en un conjunto C ⊂ ℝ². Si (0, 0) es un punto de acumulación de C, entonces, lím_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = l si y solo si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que 0 < ρ < δ ⇒ |F(ρ, θ) − l| < ε, ∀ θ ∈ [0, 2π), donde F(ρ, θ) = f(ρcosθ, ρsenθ).

Corolario

En las condiciones de la anterior proposición, si localizamos h(ρ), infinitésimo cuando ρ → 0, y tal que en un entorno de ρ = 0 cumple que |F(ρ, θ) − l| < h(ρ) sea cual sea θ ∈ [0, 2π), entonces lím_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = l.

Continuidad de Funciones de Varias Variables

Definición: Continuidad de una Función

Sea f: C → ℝ^p una función definida en un conjunto C ⊆ ℝⁿ y sea a ∈ C.

1. Diremos que f es continua en a, un punto de acumulación de C, si existe lím_x→a f(x) y además lím_x→a f(x) = f(a). Si a es un punto aislado de C, por convenio diremos que f es continua en a.
2. Diremos que f es continua en D ⊆ C si es continua en todo punto de D.

Observación sobre Continuidad y Discontinuidades

La continuidad en a exige tanto la existencia del límite en el punto como la coincidencia del valor de éste con f(a).

• Cuando el límite existe, pero no coincide con f(a), diremos que en a hay una discontinuidad evitable.
• Si el límite en a no existe, hablaremos de una discontinuidad esencial.

Propiedades de las Funciones Continuas

Sean f, g: C → ℝ funciones continuas en un punto a ∈ C. Entonces también son continuas en a las funciones:

• f + g
• fg
• f/g (cuando g(x) ≠ 0 en un entorno de a)

Sean f: C → ℝ^p, g: D → ℝ^q funciones definidas en C ⊂ ℝⁿ y D ⊂ ℝ^p con f(C) ⊂ D. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces la composición g ∘ f es continua en a.

Sea f: C → ℝ^p, C ⊂ ℝⁿ y a ∈ C. Entonces f es continua en a si y solo si cada una de sus funciones componentes f_i es continua en a, para i = 1,…,p. (Recordemos: f_i es la proyección de f en la i-ésima coordenada).

Si f es continua en a, entonces está acotada en un entorno de a.

Si f es una función real (p = 1), continua en a y f(a) ≠ 0, entonces f tiene signo constante en un entorno de a.