Energía en Sistemas Oscilantes
Energía Potencial Elástica
La energía potencial elástica (Ep,e) es el trabajo realizado por la fuerza elástica de un muelle para recuperar su longitud natural (xo) desde una longitud deformada (xc, si está comprimido, o xe, si está estirado). Representa la energía acumulada en un muelle deformado.
Su fórmula es:
Ep,e = ½ k x²
Depende de:
- La constante elástica del muelle (k).
- La deformación (x), que es la diferencia entre la longitud del muelle deformado y su longitud natural: x = xdeformada – xo.
Si medimos la longitud del muelle por la posición de su extremo, e inicialmente el muelle se encuentra comprimido a una longitud xc, al dejarlo libre, la fuerza elástica tiende a alargarlo hasta su longitud natural xo. El trabajo (W) realizado por esta fuerza se relaciona con el cambio en la energía potencial:
W = -ΔEp,e
Como al final el muelle está relajado en su longitud natural, no almacena energía potencial elástica: Ep,natural = 0.
Energía Cinética
Una masa que se mueve según un Movimiento Armónico Simple (MAS) tendrá una energía cinética (Ec), como cualquier masa con velocidad (v), dada por la expresión:
Ec = ½ m v²
Sustituyendo la expresión de la velocidad en un MAS (v = ±ω√(A² – x²)), obtenemos la energía cinética en función de la elongación (x):
Ec = ½ m [±ω√(A² – x²)]² = ½ m ω² (A² – x²)
Depende de:
- La masa (m).
- La pulsación o frecuencia angular (ω).
- La amplitud (A).
- La elongación (x).
Para una masa oscilante sujeta a un muelle, dado que k = m ω², la energía cinética también se puede expresar como:
Ec = ½ k (A² – x²)
Energía Mecánica
La energía mecánica (Em) es la suma de la energía cinética y la potencial elástica:
Em = Ec + Ep,e
Sustituyendo las expresiones anteriores:
Em = [½ k (A² – x²)] + [½ k x²] = ½ k A² – ½ k x² + ½ k x²
Al simplificar, queda que para un oscilador armónico formado por una masa que oscila por efecto de la fuerza recuperadora de un muelle, la energía mecánica total es:
Em = ½ k A²
Este es un valor constante durante el movimiento y depende de la constante recuperadora del muelle (k) y de la amplitud de la oscilación (A).
Conceptos Fundamentales de las Oscilaciones
Ley de Hooke
Cuando un cuerpo elástico se deforma una distancia x respecto a su posición de equilibrio, la fuerza elástica (Fe) que tiende a restaurarlo a dicha posición es proporcional a la deformación.
Fe = -k x
El signo negativo indica que la fuerza elástica ejercida por el muelle siempre se opone a la deformación:
- Si el muelle está contraído, la deformación es negativa (x < 0), y la fuerza elástica es positiva (tiende a estirar).
- Si el muelle está estirado, la deformación es positiva (x > 0), y la fuerza elástica es negativa (tiende a contraer).
Movimientos Periódicos
Son aquellos movimientos que se repiten exactamente después de un intervalo de tiempo constante llamado periodo. Ejemplo: el movimiento circular uniforme.
Movimiento Vibratorio u Oscilatorio
Es el movimiento de una partícula que se desplaza alternativamente a ambos lados de una posición central (posición de equilibrio). En intervalos de tiempo iguales, se repiten los valores de sus variables cinemáticas (posición, velocidad, aceleración). Ejemplos: el movimiento de un péndulo o el de una masa unida a un muelle fijo por un extremo.
Movimiento Armónico Simple (MAS)
El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo específico de movimiento oscilatorio que experimentan los cuerpos sometidos a una fuerza restauradora directamente proporcional a la distancia que separa al cuerpo de su posición de equilibrio y que, además, siempre actúa en dirección opuesta al desplazamiento (hacia la posición de equilibrio). La Ley de Hooke es un ejemplo de este tipo de fuerza.
Magnitudes del MAS
- Oscilación Completa
- Movimiento completo de ida y vuelta realizado por el móvil, desde que parte de un punto hasta que regresa al mismo punto con la misma velocidad.
- Centro de Oscilación o Posición de Equilibrio (O)
- Punto medio del recorrido que realiza el móvil, donde la fuerza neta sobre él es cero.
- Elongación (x)
- Posición instantánea de la partícula medida como la distancia desde la posición de equilibrio (O) hasta la posición en la que se encuentra el móvil en un instante determinado. En el Sistema Internacional (SI) se expresa en metros (m).
- Amplitud (A)
- Elongación máxima, es decir, la máxima distancia entre la posición de equilibrio y los puntos extremos del movimiento. En el SI se expresa en metros (m).
- Periodo (T)
- Tiempo que necesita la partícula para realizar una oscilación completa. En el SI se expresa en segundos (s).
- Frecuencia (f)
- Número de oscilaciones completas que realiza el móvil por unidad de tiempo. La frecuencia es la inversa del periodo (f = 1/T). En el SI se expresa en Hercios (Hz o s⁻¹).
- Frecuencia Angular o Pulsación (ω)
- Rapidez con la que cambia la fase del movimiento. Se relaciona con el periodo y la frecuencia. En el SI se expresa en radianes por segundo (rad/s). ω = 2π / T = 2π f
- Fase (φ)
- Argumento de la función trigonométrica (seno o coseno) que describe la posición del móvil en función del tiempo. Representa el estado de oscilación en un instante dado. Se expresa como (ωt + φ₀). En el SI se expresa en radianes (rad).
- Fase Inicial (φ₀)
- Valor de la fase en el instante inicial (t = 0). Determina la posición y el sentido del movimiento de la partícula al comienzo de la observación. En el SI se expresa en radianes (rad).
Ecuaciones del MAS
Ecuación de la Posición (o Elongación)
Para representar un MAS, necesitamos una función del tiempo, x(t), que describa la posición (elongación). Esta función debe cumplir dos condiciones:
- Ser periódica: debe repetir sus valores cada T segundos.
- Estar acotada: sus valores deben estar comprendidos entre -A y +A.
Las funciones trigonométricas seno y coseno cumplen estas condiciones. La posición de la partícula se puede expresar como x(t) = A · f(t), donde f(t) es una función seno o coseno cuyo valor oscila entre +1 y -1.
Eligiendo la función seno, e introduciendo la frecuencia angular ω = 2π/T para asegurar la periodicidad correcta, una posible ecuación es:
x(t) = A sin(ωt)
Esta ecuación describe una partícula que en el instante inicial (t = 0) está pasando por la posición de equilibrio (x = 0) con velocidad positiva.
Si la partícula no empieza en el origen o no se mueve inicialmente en sentido positivo, debemos ajustar la fase introduciendo la fase inicial (φ₀):
x(t) = A sin(ωt + φ₀)
Alternativamente, podemos usar la función coseno:
x(t) = A cos(ωt + φ₀’)
Donde φ₀’ es la fase inicial correspondiente a la descripción con coseno. La relación entre las fases iniciales de seno y coseno para describir el mismo movimiento es φ₀’ = φ₀ – π/2 (o φ₀ = φ₀’ + π/2), debido al desfase de π/2 rad entre las funciones seno y coseno (sin(α + π/2) = cos(α)).
Ecuación de la Velocidad
La ecuación de la velocidad (v) se obtiene derivando la ecuación de la posición respecto del tiempo:
v(t) = dx/dt = d/dt [A sin(ωt + φ₀)] = Aω cos(ωt + φ₀)
O si se usó la ecuación de posición con coseno:
v(t) = dx/dt = d/dt [A cos(ωt + φ₀’)] = -Aω sin(ωt + φ₀’)
La velocidad máxima (vmax) se alcanza cuando el término trigonométrico (coseno o seno) es ±1. Esto ocurre cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio (x = 0).
vmax = ±Aω
La velocidad es nula (v = 0) cuando el término trigonométrico es 0. Esto ocurre en los extremos del movimiento (x = ±A).
Ecuación de la Aceleración
La ecuación de la aceleración (a) se obtiene derivando la ecuación de la velocidad respecto del tiempo:
a(t) = dv/dt = d/dt [Aω cos(ωt + φ₀)] = -Aω² sin(ωt + φ₀)
O si se derivó de la velocidad obtenida a partir del coseno:
a(t) = dv/dt = d/dt [-Aω sin(ωt + φ₀’)] = -Aω² cos(ωt + φ₀’)
Observando la ecuación de la posición, podemos ver que la aceleración también se puede expresar como:
a(t) = -ω² x(t)
Esta relación (a ∝ -x) es la característica definitoria de un MAS.
La aceleración máxima (amax) ocurre cuando el término trigonométrico es ±1. Esto sucede cuando la elongación es máxima, es decir, en los extremos del movimiento (x = ±A).
amax = ±Aω² (El signo es opuesto al de la elongación: si x = +A, a = -Aω²; si x = -A, a = +Aω²).
La aceleración es nula (a = 0) cuando el término trigonométrico es 0. Esto sucede en la posición de equilibrio (x = 0).