Propiedades de los exponentes

Esta página introduce las propiedades de los exponentes una por una en una forma diseñada para ayudarle a recordarlas. Si desea una referencia rápida, todas las propiedades están enlistadas en una tabla al final de esta página.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 7² × 7⁶?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como:

7⁸

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

7² × 7⁶ = 7^{(2 + 6)} = 7⁸

En general, para todos los números reales a, b, y c,

a^b × a^c = a^{(b + c)}

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. («Debe ser 0!») Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.

7⁰ × 7¹ = 7^{(0 + 1)} = 7¹

Sabemos que 7¹ = 7. Así, esto nos dice que 7⁰ × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos:

a⁰ = 1

Dese cuenta que 0⁰ no está definido. (Presione aquí para ver porque.)

EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5^-2.

5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 5² = 25, y sabemos que 5⁰ = 1. Así, esto nos dice que 5^-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

3² × 4² = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

3² × 4² = (3 × 4) × (3 × 4) = 12²

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

a^c × b^c = (ab)^c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(5³)⁴ = (5³)(5³)(5³)(5³)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(5³)(5³)(5³)(5³) = 5^{3 + 3 + 3 + 3} = 5⁴⁽³⁾ = 5¹²

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los números reales a, b, y c,

(a^b)^c = a^bc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 9^1/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

9^1/2 × 9^1/2 = 9^{(1/2 + 1/2)} = 9¹

Sabemos que 9¹ = 9, así 9^1/2 = .  Así, el exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada. Similarmente, a^1/3 es equivalente a .

y en general

y .

Para recapitular:

Propiedad del exponente cero	a0 = 1, (a ≠ 0)
Propiedad del exponente negativo
Propiedad del producto de potencias
Propiedad del cociente de potencias
Propiedad de la potencia de un producto